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Tutorium Grundlagen Statistik


11. Statistische Testverfahren



Grundbegriffe:
n: Stichprobe
E ( x )=μ: Erwartungswert der Grundgesamtheit
Var ( x )=σ^2: Varianz der Grundgesamtheit
E ( x )= ̄ x: Erwartungswert der Stichprobe
Var ( x )= s^2: Varianz der Stichprobe
α: Irrtumswahrscheinlichkeit
m: Freiheitsgrade
Z(1−α/2): Tabellenwert der Normalverteilung
t( m ; 1−α/2): Tabellenwert der t – Verteilung
χ^2( m ; 1−α/2): Tabellenwert der χ^2 –Verteilung (Chi^2– Verteilung)
H0: Nullhypothese
HA: angenommene Hypothese

Formelsammlung: S. 64 – 66, 68, 73 – 75


Übungsaufgaben:
(1) Das Durchschnittsgewicht von Enten lag in der Vergangenheit bei 492,5 g, bei einer Standardabweichung von 18,9 g. Nach Übergang zu einem neuen Futtermittel lieferte eine Stichprobe von 81 Enten ein Durchschnittsgewicht von 496,3 g.
Kann man aufgrund dieser Stichprobe behaupten, dass sich das Durchschnittsgewicht der Grundgesamtheit verändert hat? Gehen Sie dabei von einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% aus.

Gegeben:
̄ x =496,3: Durchschnittswert der Stichprobe
μ0=492,5: Erwartungswert der Grundgesamtheit
σ =18,9: Streuung
n =81: Stichprobe
α=0,01: Irrtumswahrscheinlichkeit

Gesucht:
H0 annehmen oder ablehnen ?

Lösung:
1. Hypothese aufstellen
H0=μ
HA≠μ
FS S.64 Nullhypothese

2. Testgröße berechnen
U = Z =((̄x −μ0)/σ)*√ n
U = Z =(( 496,3 −492,5 )/18,9)*√ 81
U = Z =1,81
FS S.64 Testgröße berechnen

3. Kritischer Tabellenwert
Z(1−α/2)
Z(1−0,01/2)
Z( 0,995)=2,57
FS S.64 Kritischer Tabellenwert

4. Test
∣Z∣ < Z(1-α/2 )
∣Z∣ < Z(1−α/2 )
∣ 1,81 ∣ < 2,57
FS S.68 Normalverteilungstabelle
FS S.64 Test

Antwort:
H0 wird angenommen. Ein solches Statement ist als Antwort völlig ausreichend.

(2) Auf zwei Maschinen U1und U2werden bestimmte Produkte abgepackt. Auf Stichprobenbasis soll geprüft werden, ob U1mit einem größeren durchschnittlichen Füllgewicht als U2arbeitet. Aus der laufenden Produktion wird daher von U1eine Stichprobe im Umfang von 12 Stück entnommen und ein durchschnittliches Füllgewicht von 130 g, bei einer Standardabweichung von 2,2 g ermittelt. Eine Probe von U 2 (im Umfang von 10 Stück) ergab ein durchschnittliches Füllgewicht von 127 g, bei einer Standardabweichung von 1,8 g. Die Varianz der Füllgewichte der Grundgesamtheit wird für
beide Maschinen als gleich angenommen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll 1% betragen.

Ist das Durchschnittsfüllgewicht der Maschine U 1 bedeutsam größer als das Durchschnittsfüllgewicht von U2?

∣ 3,45 ∣ <2,845 Falsche Aussage.

Antwort:
H0 wird abgelehnt.

(3) In der Vergangenheit betrug die Varianz der Lebensdauer einer bestimmten Batteriesorte 1,1Jahre². Auf Stichprobenbasis soll geprüft werden, ob sich durch Einführung eines kostengünstigeren Produktionsverfahrens die Varianz der Lebensdauer erhöht. Eine Stichprobe von 25, nach dem neuen Verfahren gefertigten Batterien lieferte eine Varianz von
1,6 Jahre².
Ist das neue Verfahren besser, wenn man von einer Irrtumswahrscheinlichkeit in Höhe von 1% ausgeht?

34,91< 45,559

Antwort:
H0wird abgelehnt.

(4) Weitere Übungsaufgaben:
Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“.
Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben der ausgegebenen Klausuren zu üben.

PDF Dokument Aufgaben und Lösungen Statistische Testverfahren

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